Question

设椭圆E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，已知A（a，0），B（0，-b），且原点O到直线AB的距离为

2 3

3

（Ⅰ）  求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过点M（1，0）的直线交椭圆E于C，D两点，若存在动点N，使得直线NC，NM，ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）由e=

2

2

可得a，b之间的关系，由已知可求知直线AB的方程为x-

2

y-

2

b=0，根据点到直线的距离公式可得

| 2 b|

3

=

2 3

3

，从而可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）可先设直线CD的方程为x=ky+1，联立方程

x=ky+1 x2+2y2=1

可得（k²+2）y²+2ky-3=0y1+y2=

-2k

2+k2

，y1y2=

-3

2+k2

，设N（x₀，y₀）
K_NC+K_ND=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(1-x0)

+

y2-y0

ky2+(1-x0)

=

2y0

x0-1

=2KNM，整理可求

解答：解：（I）由e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

得a=

2

b（2分）
由点A（a，0），B（0，-b）知直线AB的方程为x-

2

y-

2

b=0
因此

| 2 b|

3

=

2 3

3

，b=2，a=2

2

（4分）
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1（5分）
（II）设直线CD的方程为x=ky+1
联立方程

x=ky+1 x2+2y2=1

可得（k²+2）y²+2ky-3=0
故y1+y2=

-2k

2+k2

，y1y2=

-3

2+k2

（7分）设N（x₀，y₀）
K_NC+K_ND=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(1-x0)

+

y2-y0

ky2+(1-x0)

=

-6k2+2k2y0-2k(1-x0)-2(1-x0)y0(k2+2)

-3k2-2k2(1-x0)+(1-x0)2(2+k2)

=

2y0

x0-1

=2KNM（10分）
6+2（1-x₀）=0可得x₀=4（13分）
代入①可得

k2×8y0+12y0

12k2+18

=

2y0

3

，回代②可得

2y0

3

，由此说明N的轨迹为直线x=4（15分）
6+2（1-x₀）=0可得x₀=4（13分）
代入①可得

k2×8y0+12y0

12k2+18

=

2y0

3

，回代②可得

2y0

3

，由此说明N的轨迹为直线x=4（15分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆相交关系的转化及方程思想的应用，本题的难点是圆锥曲线与直线联立中方程的求解中的计算．