分析 结合抛物线的方程与性质设出A,B,C的坐标,即可表达出斜边上的高|CD|,再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度,然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度,即可得到一个等式,进而求出斜边上的高得到答案.
解答 解:由题意,斜边平行y轴,即垂直对称轴x轴,
可设C的坐标为($\frac{{c}^{2}}{4}$,c),B的坐标为($\frac{{b}^{2}}{4}$,b),则A的坐标为($\frac{{b}^{2}}{4}$,-b);
$\overrightarrow{AC}$=($\frac{{c}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$,c-b),$\overrightarrow{CB}$=($\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{{c}^{2}}{4}$,-b-c),
又由Rt△ABC的斜边为AB,则有AC⊥CB,
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0,
变形可得|b2-c2|=16,
而斜边上的高即C到AB的距离为|$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{{c}^{2}}{4}$|=4.
故答案为:4.
点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 3 |
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