Question

某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点,使环城公路在A、B间为线段,要求AB环城路段与中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算).

Answer 1

解：以O为原点,正东方向为x轴的正半轴,正北方向为y轴的正半轴,建立如图所示的坐标系.

设A(-a,0)、B(b,b)(其中a＞0,b＞0),

    则AB的方程为=,

    即bx-(a+b)y+ab=0.

    ∵10=,

    ∴a²b²=100(a²+2b²+2ab)

    ≥100(2+2ab)

    =200(1+)ab.

    ∵ab＞0,∴ab≥200(+1),

    当且仅当“a²=2b²”时等号成立.

    而|AB|==,

    ∴|AB|≥20(+1).

    当

    即时,|AB|取最小值,此时|OA|=a=10,

    |OB|=10,

    ∴A、B两点的最佳位置是离市中心O均为10 km处.