Question

6．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C₁和C₂的直角坐标方程；
（2）在C₂上是否存在点P，过P作C₁的两条切线，切点为A，B，使得△ABP为等边三角形？若存在求出P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；利用cos²α+sin²α=1，可得普通方程．由直线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，展开可得：$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\frac{1}{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）圆心C₁$（\sqrt{3}，8）$到直线C₂的距离d=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}-8+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2，过C₁$（\sqrt{3}，8）$作直线C₂的垂线C₂P，垂足为P，则切线长PA=PB=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$，此时△PAB为等边三角形．利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：过C₁$（\sqrt{3}，8）$作直线C₂的垂线C₂P，联立即可解得点P坐标．直线C₂上除点P外其余点P使得∠APB＜60°，因此不满足题意．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；利用cos²α+sin²α=1，可得$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y-8）²=1．
由直线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，展开可得：$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\frac{1}{2}$，可得直角坐标方程：y-$\sqrt{3}$x=1．
（2）圆心C₁$（\sqrt{3}，8）$到直线C₂的距离d=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}-8+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2，
过C₁$（\sqrt{3}，8）$作直线C₂的垂线C₂P，垂足为P，则切线长PA=PB=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$，此时△PAB为等边三角形．
过C₁$（\sqrt{3}，8）$作直线C₂的垂线C₂P，其方程为：y-8=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-$\sqrt{3}$），化为：$x+\sqrt{3}y$-9$\sqrt{3}$=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-9\sqrt{3}=0}\\{\sqrt{3}x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴P$（2\sqrt{3}，7）$．
直线C₂上除点P外其余点P使得∠APB＜60°，因此不满足题意．
综上可得：满足条件的点P存在为：P$（2\sqrt{3}，7）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．