Question

已知函数（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=g（x）与f（x）=xlnx（0＜x＜2）关于点（1，0）对称，证明：当0＜x＜2时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．
（2）已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要证明f（x）≥g（x），只须证明f（x）-g（x）≥0，令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），利用导数求出其最小值，最后综合即可得到答案．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，在x=

1

e

处取得极小值，
且极小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）由已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要证明f（x）≥g（x），
只须证明f（x）-g（x）≥0，
令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），则g′（x）=ln

x

2-x

，
令g′（x）=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，当x∈（1，2）时，h'（x）＞0，
∴当x∈（0，2）时，h（x）≥h（1）=0，
∴f（x）≥g（x）．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数的单调性与导数的关系，其中根据已知条件求出导函数是解答本题的关键．