Question

12．已知{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}为空间的单位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，若m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{16}{9}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，由m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，可得：（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即-（m+6）-5（-2m+2）=0，解得答案．

解答 解：∵{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}为空间的单位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，
∴m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，
2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，
又∵m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，
∴（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴-（m+6）-5（-2m+2）=0，
解得：m=$\frac{16}{9}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．