Question

9．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+\frac{5}{2}，x≤1}\\{\frac{2a+1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，在定义域R上满足对任意实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+\frac{5}{2}，x≤1}\\{\frac{2a+1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，在定义域R上为减函数，则$\left\{\begin{array}{l}a-1＜0\\ 2a+1＞0\\ a-1+\frac{5}{2}≥2a+1\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：若在定义域R上满足对任意实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+\frac{5}{2}，x≤1}\\{\frac{2a+1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，在定义域R上为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a-1＜0\\ 2a+1＞0\\ a-1+\frac{5}{2}≥2a+1\end{array}\right.$，
解得：a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．