Question

设直线l：x﹣y+m=0与抛物线C：y²=4x交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求△ABF的重心G的轨迹方程；
（2）如果m=﹣2，求△ABF的外接圆的方程．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0），重心G（x，y），
联立直线与抛物线，可得，
消元可得y²﹣4y+4m=0
∴△＞0m＜1且m≠﹣1（因为A、B、F不共线）
故
∴重心G的轨迹方程为
（2）m=﹣2，则y²﹣4y﹣8=0，
设AB中点为（x₀，y₀）
∴，∴x₀=y₀﹣m=2﹣m=4
∴AB的中垂线方程为x+y﹣6=0
令△ABF外接圆圆心为C（a，6﹣a）
又，
C到AB的距离为
∴
∴，
∴

∴所求的圆的方程为