Question

6．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．
（1）求证：AF⊥PC；
（2）求证：BD∥平面PEC；
（3）求锐角二面角D-PC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，分别以$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AP}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PC}=8+0+（-8）=0$，证明AF⊥PC．
（2）取PC的中点M，连接EM．证明BD∥EM．然后证明BD∥平面PEC．
（3）求出平面PCD的一个法向量．平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角D-PC-E的余弦值．

解答 （1）证明：依题意，PA⊥平面ABCD，如图，以A为原点，分别以$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AP}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．
∵$\overrightarrow{AF}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PC}=8+0+（-8）=0$，
∴AF⊥PC．
（2）证明：取PC的中点M，连接EM．
∵M（2，2，2），$\overrightarrow{EM}=（2，-2，0）$，$\overrightarrow{BD}=（4，-4，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{EM}$，
∴BD∥EM．
∵EM?平面PEC，BD?平面PEC，
∴BD∥平面PEC．
（3）解：∵AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC=P，
∴AF⊥平面PCD，故$\overrightarrow{AF}=（2，0，2）$为平面PCD的一个法向量．
设平面PCE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，$\overrightarrow{PE}=（0，4，-2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}4x+4y-4z=0\\ 4y-2z=0\end{array}\right.$
令y=1，得x=1，z=2，故$\overrightarrow n=（1，1，2）$．
∴$cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow n＞=\frac{2+0+4}{{2\sqrt{2}•\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴锐二面角D-PC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．