Question

13．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），且关于方程f（x）=2x有两实数根：x₁=1，x₂=4；函数g（x）=2x+m．
（1）求f（x）解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在区间x∈[0，1]上最小值是$\frac{7}{2}$．求t的值；
（3）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[p，q]上的两个函数，若函数F（x）=f（x）-g（x），在x∈[p，q]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[p，q]上是“Ω函数”，若f（x）与g（x）在[0，3]上是“Ω函数”，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题知，可设 f（x）=ax²+bx+4，方程f（x）=2x有两实数根：x₁=1，x₂=4，求得a，b的值，可得函数的解析式．
（2）由于h（x）=（x-t）²+4-t²，其对称轴为x=t．分①当t≤0时、②当0＜t＜1时、③当t≥1时三种情况，分别根据最小值是$\frac{7}{2}$，求出t的值．
（3）根据新定义，将f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，转化为函数y=x²-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点即可．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）的图象过点（0，4），
设二次函数为f（x）=ax²+bx+4，
∵f（x）=2x有两实数根：x₁=1，x₂=4，
∴ax²+（b-2）x+4=0．的根为x₁=1，x₂=4，
∴1+4=-$\frac{b-2}{a}$，1×4=$\frac{4}{a}$，
∴a=1，b=-3，
∴f（x）=x²-3x+4；
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，其对称轴为x=t．
①当t≤0时，函数在[0，1]上单调递增，h（x）_min=h（0）=4≠$\frac{7}{2}$，
②当0＜t＜1时，h（x）在[0，t]上单调递减，在[t，1]上单调递增，
h（x）_min=h（t）=4-t²=$\frac{7}{2}$，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
③当t≥1时，函数在[0，1]上单调递减，h（x）_min=h（1）=5-2t=$\frac{7}{2}$，解得t=$\frac{3}{4}$（舍去）
综上所述，t的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）若函数f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“Ω函数”，
则函数F（x）=f（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，
再根据二次函数F（x）的图象的对称轴为x=$\frac{5}{2}$，则 $\left\{\begin{array}{l}{△=（-5）^{2}-4（4-m）＞0}\\{F（0）=0-0+4-m≥0}\\{F（3）=9-15+4-m≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜m≤-2，
即m的范围为：（-$\frac{9}{4}$，-2]．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点的定义和求法，属于中档题．