已知函数f(A＞0.ω＞0.-π2＜φ＜π2)的图象与x轴交点为(-π6.0).与此交点距离最小的最高点坐标为(π12.1)．的表达式,满足方程f.求在[0.2π]内的所有实数根之和,的图象的周期扩大为原来的两倍.然后向右平移2π3个单位.再把纵坐标伸长为原来的两倍.最后向上平移一个单位得到函数y=g(x)的图象．若对任意的0≤m≤3.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

＜φ＜

）的图象与x轴交点为（-

，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（

，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移

2π

个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，

5π

]上至多有一个解，求正数k的取值范围．

分析：（Ⅰ）由图象最高点得A，由周期T=4×（

）=π，可求ω，由f（-

）=0及-

＜φ＜

可得φ；
（Ⅱ）根据函数f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，结合图象利用根的对称性可得所有实根之和；
（Ⅲ）根据图象变换得到g（x），作出|g（x）|的图象，结合图象利用伸缩变换可得图象应伸长的倍数，从而得到k的范围；

解答：解：（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（

）=π，而T=

2π

，则ω=2，
又x=-

时，y=0，所以sin（2×（-

）+φ）=0，而-

＜φ＜

，则φ=

，

所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

）；
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+

）的周期为π，
f（x）=sin（2x+

）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+

）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，
x1+x2=

π，x3+x4=

π，
故所有实数根之和为

π；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-

）+1，
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数方程思想、数形结合思想．

练习册系列答案

西城学科专项测试系列答案