Question

已知函数y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)（2≤x≤4）
（1）令t=log₂x，求y关于t的函数关系式，t的范围．
（2）求该函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由y=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)=

1

2

(log2x)2-

3

2

log₂x+1，令t=log₂x，则可求y关于t的关系，结合对数函数的性质可求t的范围
（2）由y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，结合二次函数的性质可求函数的值域

解答：解：（1）∵y=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)=

1

2

(log2x)2-

3

2

log₂x+1
令t=log₂x，
则y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

∵2≤x≤4
∴1≤t≤2
（2）∵y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

由二次函数的性质可知，当t=

3

2

时，ymin=-

1

8

当t=1或2时，y_max=0
∴函数的值域是[-

1

8

，0]

点评：本题主要考查了对数函数的值域的求解，二次函数的值域的求解，属于二次函数与对数函数的综合考查