Question

【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ． （Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜01＜x＜3 命题q： 2＜x≤3，
p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3
（Ⅱ）﹁p是﹁q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由（1）知命题q：2＜x≤3，
命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（x﹣a）（x﹣3a）＜0
由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，
所以 ，所以1＜a≤2
【解析】（Ⅰ）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（Ⅱ）﹁p是﹁q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立． 即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．