Question

受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，且

x

2x-12

∈[11，+∞），当x=10时，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围；
（2）求出旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件推导出f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．6＜x≤12，由此能求出结果．
（2）f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．

解答： 解：（1）因为因为y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，
当x=10时，y=9.2，解得a=

1

100

．
所以f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．
因为

x

2x-12

≥1，所以6＜x≤12，
即投入x的取值范围是（6，12]．…（6分）
（2）对f（x）求导，得f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．
当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，
因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．
从而当x=12时，f（x）取得最大值，
即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查旅游增加值y取得最大值时对应的x值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．