Question

过直线y=-x+3上任一点P向圆x²+（y-1）²=1作两条切线，切点为A，B．则∠APB最大值为（　　）

• A．

  π

  4

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：由题意可得，当∠APB最大时，CP垂直于直线y=-x+3，求出圆心C（0，1）到直线y=-x+3的距离为d，Rt△PAC中，由sin∠CPA=

r

d

求出∠CPA的值，则 2∠CPA即为所求．

解答：解：由题意可得，当∠APB最大时，CP垂直于直线y=-x+3，设圆心C（0，1）到直线y=-x+3的距离为d．
∵d=

|0+1-3|

2

=

2

，
Rt△PAC中，sin∠CPA=

r

d

=

CA

CP

=

1

2

，
∴∠CPA=

π

4

．
∴∠APB=2∠CPA=

π

2

，
故选C．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，解直角三角形，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．