Question

设f（x）=x|x|+bx+c（b、c∈R）给出下列四个命题：
①若c=0，则f（x）为奇函数；②若c＞0，b=0，则方程f（x）=0只有一个实根；
③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；④关于x的方程f（x）=0最多有两个实根其中正确的命题有

①②③

（填序号）．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析4个命题，对于①、当c=0时，可得f（x）=x|x|+bx，则f（-x）=-x|x|-bx=f（-x），可得f（x）为奇函数，进而可得①正确；对于②、当c＞0，b=0，f（x）=x|x|+c，解x|x|+c=0可得x=-

c

，只有一个解，可得②正确；对于③、由函数图象变化的规律，y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|得到，由奇函数的性质，可得③正确；对于④、举出反例，当c=0，b=-1时，f（x）=0有三个根，则可以④错误；即可得答案．

解答：解：根据题意，依次分析4个命题，
对于①、对于f（x）=x|x|+bx+c，当c=0时，有f（x）=x|x|+bx，则f（-x）=-x|x|-bx=f（-x），故f（x）为奇函数，①正确；
对于②、对于f（x）=x|x|+bx+c，当c＞0，b=0，f（x）=x|x|+c，若x|x|+c=0，解可得x=-

c

，只有一个解，②正确；
对于③、由函数图象变化的规律，y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，③正确；
对于④、对于f（x），当c=0，b=-1时，f（x）=x|x|-x，f（x）=0有三个根，分别为0、1、-1，则④错误；
故答案为①②③．

点评：本题的考点是命题的真假判断与应用，涉及含绝对值的函数性质与二次函数的性质，关键是熟悉函数的有关性质．