Question

【题目】记等差数列的前项和为.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；

（3）记，求证： .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】【试题分析】（1）先设等差数列的公差为，将，进而得到当时， ，依据定义可知数列是等差数列；（2）依据题设条件“任意的都是公差为，的等差数列”求出，然后建立等式，分析探求出满足条件，当时不满足，进而求出正整数的取值集合为；（3）先依据题设将问题转化为证明不等式。证明时运用了做差比较的方法进行推证，进而证得 ，使得不等式或获证。

解：（1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列.

（2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公差为，的等差数列，又，所以，所以，显然， 满足条件，当时，因为，所以，所以不是整数，综上所述，正整数的取值集合为.

（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明： ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中

，即.