Question

（2010•上海）设n阶方阵
A_n=

1          3           5         …    2n-1 2n+1  2n+3  2n+5  …  4n-1 4n+1  4n+3  4n+5  …  6n-1 …        …         …            …       … 2n(n-1)+1  2n(n-1)+3  2n(n-1)+5  …  2n2-1

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中的一个元素，记为x₂；划去x₂所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，则S_n=x₁+x₂+…+x_n，则

lim

n→∞

Sn

n3+1

=

1

．

Answer 1

分析：不妨取x₁=1，x₂=2n+3，x₃=4n+5，…，x_n=2n²-1，故S_n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n²-1）=n³，故可求

lim

n→∞

Sn

n3+1

．

解答：解：不妨取x₁=1，x₂=2n+3，x₃=4n+5，…，x_n=2n²-1，
故S_n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n²-1）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[2n+4n+…+（n-1）2n]=n²+（n-1）×n²=n³，
故

lim

n→∞

Sn

n3+1

=

lim

n→∞

n3

n3+1

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n3

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．