分析 (Ⅰ)根据线面垂直的判定,先证明BD⊥平面PAC,利用线面垂直的性质即可证明BD⊥PM.
(Ⅱ)过O作OH⊥PM交PM于H,连HD,则∠OHD为A-PM-D的平面角,利用二面角O-PM-D的正切值为2$\sqrt{6}$,即可求出$\frac{PA}{AD}$的值.
解答 (Ⅰ)证明:∵四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
又BD?平面ABCD,∴BD⊥PA,
∵底面ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,
又PM?平面PAC,
∴BD⊥PM.
(Ⅱ)解:过O作OH⊥PM交PM于H,连HD,
因为DO⊥平面PAC,由三垂线定理可得DH⊥PM,
所以∠OHD为A-PM-D的平面角,
设PA=b,AD=4,
∵底面ABCD是边长为4的菱形,∠BAD=120°,
∴OD=2$\sqrt{3}$,OM=1,AM=3,且$\frac{OH}{OM}$=$\frac{AP}{PM}$,
从而OH=$\frac{OM•AP}{PM}$=$\frac{1•b}{\sqrt{{b}^{2}+\frac{9}{4}}}$=$\frac{2b}{\sqrt{4{b}^{2}+9}}$,
∴tan∠OHD=$\frac{OD}{OH}$=$\frac{\sqrt{3(16{b}^{2}+36)}}{2b}$,
所以16b2=144,解得b=3.(舍负值)
∴PA的长为3.
则$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$.
点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定,考查面面角,解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定,作出面面角.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{10}$ | C. | $\sqrt{11}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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