Question

（2013•金山区一模）已知函数f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+

3

cos2x-m，若f（x）的最大值为1．
（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f(B)=

3

-1，且

3

a=b+c，试判断三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）由和差角公式可得f（x）=1sin2x+

3

cos2x-m=2sin(2x+

π

3

)-m，从而可得f（x）_max=2-m，可求m，要求函数的单调递增区间，只要令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，即可求解
（2）因为f(B)=

3

-1，可求B，A+C，由已知

3

a=b+c结合正弦定理可可求sinA，即可求解A，从而可判断

解答：解：（1）f（x）=1sin2x+

3

cos2x-m=2sin(2x+

π

3

)-m…（3分）
f（x）_max=2-m，所以m=1，…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
单调增区间为(kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

)k∈Z…（6分）
（2）因为f(B)=

3

-1，则2sin(2B+

π

3

)-1=

3

-1，
sin(2B+

π

3

)=

3

2

∵0＜B＜π
∴B=

π

6

…（8分）
又

3

a=b+c，则

3

sinA=sinB+sinC，
∴

3

sinA=

1

2

+sin(

5π

6

-A)=

1

2

+sin

5π

6

cosA-sinAcos

5π

6

…（10分）
∴

1

2

cosA-

3

2

sinA+

1

2

=0
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，
∴A=

π

3

，所以C=

π

2

，故△ABC为直角三角形…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式、两角和与差的三角函数、正弦定理等知识的综合应用，属于三角函数的中档试题