Question

7．已知一点在直线上从时刻t=0（s）开始以速度v（t）=t²-4t+3（m/s）运动，求：
（1）在t=4s时的位置；
（2）在t=4s的运动路程．

Answer 1

分析 （1）在t=4s时的位置=${∫}_{0}^{4}（{t}^{2}-4t+3）dt$；
（2）由t²-4t+3＞0，解得t＞3或0＜t＜1．在t=4s的运动路程S=${∫}_{0}^{1}（{t}^{2}-4t+3）dt$-${∫}_{1}^{3}（{t}^{2}-4t+3）dt$+${∫}_{3}^{4}（{t}^{2}-4t+3）dt$，利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：（1）在t=4s时的位置=${∫}_{0}^{4}（{t}^{2}-4t+3）dt$=$（\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t）{|}_{0}^{4}$=$\frac{4}{3}$；
∴在t=4s时的位置为离开始点$\frac{4}{3}$m；
（2）由t²-4t+3=0，解得t=1，3．
在t=4s的运动路程S=${∫}_{0}^{1}（{t}^{2}-4t+3）dt$-${∫}_{1}^{3}（{t}^{2}-4t+3）dt$+${∫}_{3}^{4}（{t}^{2}-4t+3）dt$
=$（\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t）{|}_{0}^{1}$-$（\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t）{|}_{1}^{3}$+$（\frac{1}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+3t）{|}_{3}^{4}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$
=4m．
∴在t=4s的运动路程为4m．

点评 本题考查了微积分基本定理，考查了计算能力，属于中档题．