Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中点，
（1）求证：AG⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，结合面面垂直的性质，我们易得到BC⊥平面ABEF，进而由线面垂直的定义得到BC⊥AG，由线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（2）作GM⊥AB于M，则M为AB中点，M为G的射影，作GH⊥AC于H，连接MH，从而可知所求角∠GHM，进而可求．

解答：（1）证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG=

4+4

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC；
（2）解：作GM⊥AB于M，则M为AB中点，M为G的射影
作GH⊥AC于H，连接MH，则所求角∠GHM
∵GM=a，MH=

1

4

BD=

2

2

a
∴GH=

6

2

a
∴sin∠GHM=

GM

GH

=

6

3

．

点评：本题以面面垂直为载体，考查面面垂直的判定与性质，考查面面角，关键是正确运用定理，寻找线面垂直．