Question

设P（x₀，y₀）是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求

y1+y2

y0

的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

分析：（I）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出
k_PA=-k_PB，化简出

y1+y2

y0

即可．
（II）求得三点纵坐标的关系式，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y₁+y₂=-2y₀代入求得结果为非零常数．

解答：解：（I）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k _PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相减得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故 kPA=

y1-y0

x1-x0

=

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得 kPB=

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

=-

2p

y2+y0

所以y₁+y2=-2y₀
故

y1+y2

y0

=-2
（II）设直线AB的斜率为k_AB
由y2²=2px₂，y₁²=2px₁
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以 kAB=

y2-y1

x2-x1

=

2p

y1+y2

(x1≠x2)
将y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB=

2p

y1+y2

=-

p

y0

，所以k_AB是非零常数．

点评：本小题主要考查直线的斜率、直线与圆锥曲线的综合问题等基础，考查运算求解能力，考查数形结合思想与转化思想．属于基础题．