Question

已知函数f（x）=x³+

3

2

（1-a）x²-3ax+1，求不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，

3

]恒成立，试求实数a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数解析式，求出导函数，分a=-1，a＜-1和a＞-1三种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间，由x∈[0，

3

]时函数的值域为
[-1，1]列式求解a的值．

解答： 解：∵f （x）=x³+

3

2

（1-a）x²-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3（1-a）x-3a，
当a=-1时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R，
f（0）=1，f(

3

)=(

3

)3+9+3

3

+1=6

3

+10，不满足题意；
当a＜-1时，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞-a，
故f （x）的单调增区间为（-∞，1）和（-a，+∞），f （x）的单调减区间为（1，-a），
不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，

3

]不恒成立；
当a＞-1时，由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞1，
故f （x）的单调增区间为（-∞，-a）和（1，+∞），f （x）的单调减区间为（-a，1），
∵f（0）=1，
∴要使不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，

3

]恒成立，
则

-a≤0 f(1)= 7 2 - 9 2 a≥-1 f( 3 )= 6 3 +11 2 - 9+6 3 2 a≤1

，解得：a=1．
综上，满足不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，

3

]恒成立的实数a的值为1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，正确分类是解答该提的关键，是中高档题．