Question

（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱BB₁⊥底面ABCD，E是侧棱CC₁的中点。

（I）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（II）求证：AC//平面B₁DE。

Answer 1

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以

因为BB₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥AC。                                     …………3分
所以AC⊥平面BDD₁B₁。                       …………5分
（II）设AC，BD交于点O，取B₁D的中点F，连结OF，EF，

则OF//BB₁，且
又E是侧棱CC₁的中点，

所以OF//CC₁，且OF=，                                   ………………7分
所以四边形OCEF为平行四边形，OC//EF，                ………………9分
又AC平面B₁DE，EF平面B₁DE，                      ………………11分
所以AC//平面B₁DE。………………13分