Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

．
（1）若圆（x-2）²+（y-1）²=

20

3

与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆的方程；
（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60°．求

|MF|

|NF|

的值．
（3）在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x-

3

y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求

|RF1|

|RF2|

的值．

Answer 1

分析：（1）设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB恰为圆的直径，可求椭圆的方程；
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)，由此可求

|MF|

|NF|

的值；
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切，利用△F₁SR∽△RSF₂，即可求

|RF1|

|RF2|

的值．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵离心率e=

2

2

，∴椭圆方程可化为

x2

2b2

+

y2

b2

=1②
将①代入②得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂=

4(2k-1)k

1+2k2

=4，∴k=-1
∴x₁x₂=

18-2b2

1+2

=6-

2

3

b2
又|AB|=2•

20 3

，∴

1+1

|x1-x2|=2

20 3

即(x1-x2)2=

40

3

，∴b²=8
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)
即

m

n

=

2 2 -1

2 2 +1

=

9-4 2

7

或

m

n

=

9+4 2

7

∴

|MF|

|NF|

=

9+4 2

7

或

|MF|

|NF|

=

9-4 2

7

．
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．
直线l与x轴于S（-8，0），
∵△F₁SR∽△RSF₂，
∴

|RF1|

|RF2|

=

|SF1|

|SR|

=

|SR|

|SF2|

=

|SF1| |SR| |SR| |SF2|

=

|SF1| |SF2|

=

2 14 - 7

7

．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的第二定义，考查三角形的相似，正确运用椭圆的性质及第二定义是关键．