Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；
（3）已知c1＞0，且cn+1=f′（cn）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2时，fx）=x2﹣2x+ln（x+1），则f′（x）=2x﹣2+ = ，

f′x）=0，x=± ，且x＞﹣1，

当x∈（﹣1，﹣ ）∪（ ，+∞）时f′x）＞0，当x∈（﹣ ， ）时，f′x）＜0，

所以，函f（x）的极大值点x=﹣ ，极小值点x=

（2）解：因f′（x）=2x﹣a+ ，f′x）＞x，

2x﹣a+ ＞x，

即a＜x+ ，

y=x+ =x+1+ ﹣1≥1（当且仅x=0时等号成立），

∴ymin=1．∴a≤1

（3）解：①当n=1时，c2=f′（x）=2c1﹣a+ ，

又∵函y=2x+ 当x＞1时单调递增，c2﹣c1=c1﹣a+ =c1+1+ ﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，

∴c2＞c1，即n=1时结论成立．

②假设n=k时，ck+1＞ck，ck＞0则n=k+1时，

ck+1=f′（ck）=2ck﹣a+ ，

ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+ =ck+1+1+ ﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，

ck+2＞ck+1，即n=k+1时结论成立．由①，②知数{cn}是单调递增数列

【解析】（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．（2）因f′（x）=2x﹣a+ ，由f′x）＞x，分参数得到：a＜x+ ，再利用函数y=x+ 的最小值即可得出求实数a的取值范围．（3）本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c2＞c1成立，再假设n=k时ck+1＞ck ， ck＞0成立，进而证明出n=k+1时ck+2＞ck+1 ， 也成立，即可得到对于任意正整数n数列{cn}是单调递增数列．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．