Question

（本小题满分12分＞
设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，||=6，=•．过点M作MM₁丄y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，=+，记点T的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程：
（H）已知直线L与双曲线C：5x²-y²=36的右支相交于P、Q两点（其中点P在第-象限）．线段OP交轨迹C于A，若=3，S_△PAQ=-26tan∠PAQ求直线L的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），
又，
∴，，，
于是，
即（x，y）=，
∴，代入，得5x²+y²=36．
∴曲线C的方程是5x²+y²=36．
（Ⅱ）设A（x，y），由=3及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，
∵A∈C₁，P∈C₂，
∴5m²+n²=36，5m²-n²=4，
解得m=2，n=4，即A（2，4），P（6，12），
设Q（x，y），则5x²-y²=36①，
由S=-26tan∠PAQ，得，
∴，
即（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0②
联立①②，解得，或，
∵Q在双曲线的右支，∴Q（3，-3）．
由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程为，
即5x-y-18=0．
分析：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），又，，，，于是，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x，y），由=3及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，由A∈C₁，P∈C₂，知5m²+n²=36，5m²-n²=4，解得A（2，4），P（6，12），设Q（x，y），则5x²-y²=36．由S=-26tan∠PAQ，得，所以（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0．联立方程组，解得Q（3，-3）．由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．