Question

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，则f（8.5）=

0.5

．

Answer 1

分析：根据题目给出的等式，取x=-x得另一个等式，两式作差后得到f（1+x）=f（1-x），再取x=x+1代入后可得周期，运用函数的周期及偶函数可求f（8.5）的值．

解答：解：由f（x+1）+f（x）=1①，取x=-x，得：f（1-x）+f（-x）=1，
因为f（x）为偶函数，所以有f（1-x）+f（x）=1②，
①-②得：f（1+x）=f（1-x），再取x=1+x，得f（2+x）=f（-x）=f（x），所以函数f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（8.5）=f（8+0.5）=f（0.5）=f（-2+0.5）=f（-1.5）=f（1.5），
又当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，所以f（1.5）=2-1.5=0.5
所以f（8.5）=0.5
故答案为0.5．

点评：本题考查了函数的奇偶性及周期性，如何通过f（x+1）+f（x）=1进一步推出函数的周期是解答该题的关键．