一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖．
（1）试用n表示一次取球中奖的概率p；
（2）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m，求m的最大值；
（3）在（Ⅱ）的条件下，当m取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4）），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，求X的分布列、期望．
分析：（1）用古典概型求解即可．分母为从n+5任取两个，有Cn+52种方法，分子为两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种；
（2）每次取球后全部放回，故为独立重复试验，按照独立重复试验的概率就解出概率，看作p的函数，利用导数求最值，并求出对应的n 即可；
（3）X的取值为0，1，2，3，4，利用古典概型分别求出概率，列出分布列，求期望即可．
解答：解：（1）每次从n+5任取两个，有C
n+52种方法．
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C
n1C
51种，
一次取球中奖的概率为
p==．
（2）设每次取球中奖的概率为p次取球中恰有一次中奖的概率是：
m=P
3（1）=C
31•p•（1-p）
2=3p
3-6p
2+3p（0＜p＜1
p数m'=9p
2-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而
m(0，)上为增函数，m
(，1)上为减函数．
∴当
p=，即
=，n=20，
mmax=（3）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0的有10球，从中任取一球，有20法，它们是等可能的．故X的分布列是：
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=．
点评：本题考查古典概型、独立重复试验的概率、利用导数求最值、离散型随机变量及分布列、期望等知识，综合性较强．
