Question

定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．
（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；
（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；
（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）2；（2），，；（3）．

试题分析：本题是一个新定义概念问题，解决问题的关键是按照新定义把问题转化为我们熟悉的问题，（1）就是找到使为常数，考虑到，因此取，则有，符合题设，即得；（2）在（1）中求解时，可以想到一次函数就是广义周期函数，因此取，再考虑到正弦函数的周期性，取，代入新定义式子计算可得；（3）首先，函数应该是广义周期函数，由新定义可求得一个广义周期是，周距，由于，可见在区间上取得最小值，在上取得最大值，而当时，由上面结论可得，最小值为，当时，，从而最大值为．
试题解析：（1），
，（非零常数）
所以函数是广义周期函数，它的周距为2．  （4分）
（2）设，则


（非零常数） 所以是广义周期函数，且．      （ 9分）
（3），
所以是广义周期函数，且 ．             （10分）
设满足，
由得：
，
又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为．       （ 13分）
由得得：
，
又知道在区间上的最大值是在上获得的，
而，所以在上的最大值为23．        （16分）