Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数）

（1）求的单调区间；

（2）已知关于的方程有三个实根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，利用导数可求出函数的单调区间；

（2）由题意可知，关于的方程在时有三个根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想，结合内层函数与外层函数的零点，对实数的取值进行分类讨论，分析方程的实根个数，从而可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，，

所以，函数的单调递增区间为和，无单调递减区间；

（2）由，得，得.

令，则，令，得，列表如下：

		极小值

如下图所示，当时，方程在时有两根，当或时，方程在时只有一根.

作出函数与函数的图象如下图所示：

①当时，直线与函数图象交点的横坐标为，

此时方程在时只有一根，不合乎题意；

②当时，直线与函数图象有两个交点，横坐标分别为、，且，，

方程在时只有一根，方程在时只有一根，共有两根，不合乎题意；

③当时，直线与函数图象交点的横坐标为，

方程只有一根，不合乎题意；

④当时，直线与函数图象有两个交点，横坐标分别为、，且，，

方程在时有两根，方程在时只有一根，共有三根，合乎题意；

⑤当时，直线与函数图象交点的横坐标为，，

方程在时有一根，方程在时也只有一根，共两根，不合乎题意；

⑥当时，直线与函数图象交点的横坐标为，且，

此时，方程在时只有一根，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.