Question

（2013•海口二模）若函数f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（-2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（

OB

+

OC

）•

OA

=（　　）

A．-32

B．-16

C．16

D．32

Answer 1

分析：由f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解

解答：解：由f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）=0可得

πx

6

+

π

3

=kπ
∴x=6k-2，k∈Z
∵-2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点
∴B，C 两点关于A对称即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0
则（

OB

+

OC

）•

OA

=（x₁+x₂，y₁+y₂）•（4，0）=4（x₁+x₂）=32
故选D

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．