Question

在数列{a_n}中，如果对任意的n∈N^*，都有（λ为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是    ．
①若数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{a_n}满足：，a₁=2，则此数列的通项为-1，且{a_n}不是比等差数列；
（理）④数列{a_n}满足：a₁=，且a_n=，则此数列的通项为a_n=，且{a_n}不是比等差数列．

Answer 1

【答案】分析：根据比等差数列的定义（λ为常数），逐一判断①～④中的四个数列是否是比等差数列，即可得到答案．
解答：解：数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F₃=2，F₄=3，F₅=5，-=1，-=-≠1，
则该数列不是比等差数列，
故①正确；
若数列{a_n}满足an=（n-1）•2n-1，
则-=-=不为定值，
即数列{a_n}不是比等差数列，
故②错误；
③当等差数列为常数列0，0，0，0，…，0时，不能成为比等差数列，
故③错误；
（文）④∵数列{a_n}满足：，
a₁=2=-1，
∴a₂=4+4=8=，
a₃=64+16=80=3-1．
由此猜想．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2=-1，成立．
②假设当n=k时成立，即，
则a_k+1=（）²+2（）
=-2×3+1-2×-2
=-1，也成立，
∴此数列的通项为-1．
∴-=-不是常数，
故{a_n}不是比等差数列，故④正确；
（理）④∵数列{a_n}满足：a₁=，且a_n=，
∴a₁==，
a₂===，
==．
由此猜想a_n=．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁==，成立；
②假设n=k时，等式成立，即，
则a_k+1==，也成立．
故此数列的通项为a_n=，
∴-=-不是常数，
故{a_n}不是比等差数列，故④正确；
故答案为：①④．
点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．