Question

已知直线l₁：x-2y-1=0，直线l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直线l₁∩l₂=∅的概率；
（2）求直线l₁与l₂的交点位于第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l₁∩l₂=∅，根据两条直线没有交点，得到两条直线的斜率之间的关系，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．

解答：解：（1）直线l₁的斜率k1=

1

2

，直线l₂的斜率k2=

a

b

．
设事件A为“直线l₁∩l₂=∅”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2），…，（1，6），
（2，1），（2，2），••，（2，6），••，（5，6），（6，6）共36种．
若l₁∩l₂=∅，则l₁∥l₂，即k₁=k₂，即b=2a．
满足条件的实数对（a，b）有（1，2）、（2，4）、（3，6）共3种情形．
∴P(A)=

3

36

=

1

12

．
即直线l₁∩l₂=∅的概率为

1

12

．
（2）解：设事件B为“直线l₁与l₂的交点位于第一象限”，
由于直线l₁与l₂有交点，则b≠2a．
联立方程组

ax-by+1=0 x-2y-1=0.

解得

x= b+2 b-2a y= a+1 b-2a .

∵直线l₁与l₂的交点位于第一象限，则

x＞0 y＞0.

即

x= b+2 b-2a ＞0 y= a+1 b-2a ＞0.

解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．
满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．
∴P(B)=

6

36

=

1

6

．
即直线l₁与l₂的交点位于第一象限的概率为

1

6

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的平行关系，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．