Question

若m²-4n≥0，且x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两实根，则“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的什么条件？并说明理由．

Answer 1

分析：因x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两实根，由韦达定理可得：x₁+x₂=m，x₁•x₂=n，若“x₁＞2且x₂＞2”，则“m＞4且n＞4”成立，反之可以列举反例．

解答：解：“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的必要不充分条件，理由如下：
必要性：因x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两实根，由韦达定理可得：x₁+x₂=m，x₁•x₂=n，
又因为x₁＞2且x₂＞2，所以有m=x₁+x₂＞4，n=x₁•x₂＞4成立．
不充分性：令m=8＞4，n=7＞4，则此时方程x²-mx+n=0的两个实数根分别为1和7，即x₁，x₂中一个大于2，一个小于2，也就是说x₁＞2且x₂＞2不成立．
综上可知，“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的必要不充分条件．

点评：本题主要考查充分性、必要性的判断，当说明不成立时，列举反例即可．