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设函数T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函数y=T(x2)和y=(T(x))2的解析式;
(2)是否存在实数a,使得T(x)+a2=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当x∈[ 0 ,
1
16
 ]
时,求y=T4(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当x∈[ 
i-1
16
 ,
i+1
16
 ]
时(i∈N*,1≤i≤15),都有T4(x)=T4(
i
8
-x)
恒成立.
②若方程T4(x)=kx恰有15个不同的实数根,确定k的取值;并求这15个不同的实数根的和.
(1)函数y=T(x2)=
2x2x∈ (-
2
2
, 
2
2
2(1-x2)x∈[-1 , -
2
2
]∪[
2
2
 , 1]

函数y=(T(x))2=
4x2x∈[0 , 
1
2
)
4(1-x)2x∈[
1
2
 , 1]
…4分
(2)T(x)+a2=
2x+a2,    0≤x<
1
2
2(1-x)+a2, 
1
2
≤x≤1

T(x+a)=
2x+2a,0≤x+a<
1
2
2(1-x-a),  
1
2
≤x+a≤1
…6分
则当且仅当a2=2a且a2=-2a时,即a=0.
综上可知当a=0时,有T(x)+a2=T(x+a)=T(x)恒成立.…8分
(3)①当x∈[ 0 ,
1
16
 ]
时,对于任意的正整数j∈N*,1≤j≤3,
都有0≤2jx≤
1
2
,故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x.…13分
②由①可知当x∈[ 0 ,
1
16
 ]
时,有T4(x)=16x,根据命题的结论可得,
x∈[ 
1
16
2
16
 ] ⊆[ 
0
16
2
16
 ]
时,
1
8
-x∈[ 
0
16
1
16
 ] ⊆[ 
0
16
2
16
 ]

故有T4(x)=T4(
1
8
-x)=16(
1
8
-x)=-16x+2

因此同理归纳得到,当x∈[ 
i
16
 ,
i+1
16
 ]
(i∈N,0≤i≤15)时,T4(x)=(-1)i(24x-i-
1
2
)+
1
2
=
24x-i, i 是偶数
-24x+i+1,i 是奇数
…15分
x∈[ 
i
16
 ,
i+1
16
 ]
时,解方程T4(x)=kx得,x=
(2i+1)-(-1)i
32-(-1)i2k

要使方程T4(x)=kx在x∈[0,1]上恰有15个不同的实数根,
则必须
(2•14+1)-(-1)14
32-(-1)142k
=
(2•15+1)-(-1)15
32-(-1)152k
解得k=
16
15

方程的根xn=
(2n-1)+(-1)n
32+(-1)n2k
(n∈N*,1≤n≤15)…17分
这15个不同的实数根的和为:S=x1+x2+…+x14+x15=
0+2+4+6+8+10+12+14
16-
16
15
+
2+4+6+8+10+12+14
16+
16
15
=
225
32
.…18分.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
2x+3
3x
(x>0)
,数列{an}满足a1=1,an=f(
1
an-1
)(n∈N*,且n≥2)

(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;
(III)在数列{an}中是否存在这样一些项:an1an2an3,…,ank,…(1=n1n2n3<…<nk<…,k∈N*),这些项能够构成以a1为首项,q(0<q<5,q∈N*)为公比的等比数列{ank},k∈N*.若存在,写出nk关于k的表达式;若不存在,说明理由.

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设函数f(x)=2x+
a
2x
-1
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1
2
的根;
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•浦东新区一模)设函数T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函数y=T(sin(
π
2
x))和y=sin(
π
2
T(x))的解析式;
(2)是否存在非负实数a,使得aT(x)=T(ax)恒成立,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当x∈[0,
1
2n
]时,求y=Tn(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当x∈[
i-1
2n
i+1
2n
](i∈N*,1≤i≤2n-1)时,都有Tn(x)=Tn
i
2n-1
-x)恒成立.
②对于给定的正整数m,若方程Tm(x)=kx恰有2m个不同的实数根,确定k的取值范围;若将这些根从小到大排列组成数列{xn}(1≤n≤2m),求数列{xn}所有2m项的和.

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(2012•浦东新区一模)设函数T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函数y=T(x2)和y=(T(x))2的解析式;
(2)是否存在实数a,使得T(x)+a2=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)定义Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①当x∈[ 0 ,
1
16
 ]
时,求y=T4(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当x∈[ 
i-1
16
 ,
i+1
16
 ]
时(i∈N*,1≤i≤15),都有T4(x)=T4(
i
8
-x)
恒成立.
②若方程T4(x)=kx恰有15个不同的实数根,确定k的取值;并求这15个不同的实数根的和.

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