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已知函数f(x)是定义域为(-1,1)上的奇函数也是减函数
(1)若x∈(-1,0)时,f(x)=-x+1,求f(x);
(2)若f(1-a)<f(a2-1),求a的取值范围.

解:(1)设x∈(0,1),则-x∈(-1,0),
由x∈(-1,0)时,f(x)=-x+1,得f(-x)=x+1,
又f(x)为(-1,1)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),则-f(x)=x+1,
故f(x)=-x-1;
因为f(x)为(-1,1)上的奇函数,
所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0,
所以f(x)=
(2)因为f(x)为(-1,1)上的减函数,且f(1-a)<f(a2-1),
所以有,解得0<a<1.
故a的取值范围是:0<a<1.
分析:(1)设x∈(0,1),则-x∈(-1,0),根据已知表达式可求得f(-x),由奇函数性质可得f(-x)与f(x)的关系,从而可求得f(x);由f(-0)=-f(0)可求得f(0),从而可得结论;
(2)利用函数f(x)的单调性可去掉不等式f(1-a)<f(a2-1)中的符号“f”,从而转化为具体不等式,考虑到函数定义域,可得一不等式组,由此可得答案.
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,属中档题,定义是解决该类问题的基本方法,解决(2)问的关键是利用单调性化抽象不等式为具体不等式.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2

(1)计算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)证明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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精英家教网已知函数f(x)=x+
a
x
的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值.
(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象上的两点,横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:y1+y2为定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.

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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点,且x1+x2=1.
(1)求证:y1+y2为定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn
(3)在(2)的条件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn为数列{an}的前n项和.求Tn

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π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
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