Question

定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f().

(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(2)若当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.

Answer 1

思路分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；(2)定义法证明，其中判定的范围是关键.

证明：(1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，

由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.

令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.

∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0＜x₁＜x₂＜1,则

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f()=f().

∵0＜x₁＜x₂＜1,∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0.

∴＞0.

又(x₂-x₁)-(1-x₁x₂)=(x₂-1)(x₁+1)＜0，

∴0＜x₂-x₁＜1-x₁x₂.

∴-1＜＜0.由题意知f()＞0，

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴f(x)在(0，1)上为减函数.

又f(x)为奇函数，

∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.