Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于

5

5

？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）将（1，-2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．

解答：解：（I）将（1，-2）代入抛物线方程y²=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x，其准线方程为x=-1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
由

y=-2x+t y2=4x

得y²+2y-2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

又∵直线OA与L的距离d=

|t|

5

=

5

5

，求得t=±1
∵t≥-

1

2

∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y-1=0

点评：本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．