Question

小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

（I）求小波参加学校合唱团的概率；
（II）求的分布列和数学期望.

Answer 1

（I）小波参加学校合唱团的概率为.
（II）的分布列为:

.

解析试题分析：（I）观察图形，确定从8个点中任意取两点为向量终点的方法数；
计算时,两向量夹角为直角的情况数；
应用古典概型概率的计算公式计算“小波参加学校合唱团的概率”.
（II）注意到两向量数量积的所有可能取值为
分别计算相应概率，写出的分布列.关键是计算概率要准确.
利用数学期望计算公式得到.
本题难度不大，突出了对古典概型概率的计算方法，以及数学期望的计算公式等所学知识的考查.
试题解析：（I）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为.         4分
（II）两向量数量积的所有可能取值为
当时，
当时,有2种情形
当时,有8种情形
当时,有10种情形.        8分
所以的分布列为:

                                                                  10分
.          12分
考点：古典概型概率的计算，离散性随机变量的分布列、期望.