Question

设函数f（x）=ax-（1+a²）x²（a＞0）．区间I={x|f（x）＞0}，定义区间（α，β）的长度为β-α．
（1）求区间I的长度H（a）（用a表示）；
（2）若a∈[3，4]，求H（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）＞0解集，可得区间I长度；
（2）确定H（a）在[3，4]上的单调性，即可求出H（a）的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax-（1+a²）x²，
∴f（x）=x[a-（1+a²） x]＞0；
∵a＞0，∴

a

1+a2

＞0．
∴f（x）＞0解集为 （0，

a

1+a2

）；
∴区间I长度为H（a）=

a

1+a2

；
（2）由（1）知，H（a）=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

，
∵g（a）=a+

1

a

在[3，4]单调递增，
∴当a=3时，I取最大值，最大值为

3

10

．

点评：本题考查新定义，考查不等式的解法，考查函数的最值与单调性，正确理解新定义是关键．