Question

7．已知函数f（x）=x²-2ax+4（a-1）ln（x+1），其中实数a＜3．
（Ⅰ）判断x=1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出1是函数g（x）的异号零点，判断即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性确定a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x²-2ax+4（a-1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（-1，+∞），
$f'（x）=2x-2a+\frac{4（a-1）}{x+1}$=$\frac{{2[{{x^2}+（1-a）x+（a-2）}]}}{x+1}$，
令g（x）=x²+（1-a）x+（a-2），经验证g（1）=0，
因为a＜3，所以g（x）=0的判别式△=（1-a）²-4（a-2）=a²-6a+9=（a-3）²＞0，
由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，
所以1是f'（x）的异号零点，所以x=1是函数f（x）的极值点．
（Ⅱ）已知f（0）=0，因为$f'（x）=\frac{{2（x-1）[{x-（a-2）}]}}{x+1}$，
又因为a＜3，所以a-2＜1，
所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，
所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；
当2＜a＜3时，在区间[0，a-2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，
所以f（a-2）＞f（0）=0，所以不等式不能恒成立；
所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．