Question

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

（1）求角B的大小；
（2）若b=2

3

，求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
又0＜A＜π，∴sinA≠0，则cosB=-

1

2

，
又B为三角形的内角，∴B=

2π

3

；
（2）∵b=2

3

，cosB=cos

2π

3

=-

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即12=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

（当且仅当ac时取等号），
则△ABC面积最大值为

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．