Question

【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）=lnx﹣x+2．
（1）求函数g（x）的极大值；
（2）若关于x的不等式 在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知 ，试比较f（tanα）与﹣cos2α的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=lnx﹣x+2，（x＞0），则g′（x）= ，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴当x=1时，函数g（x）取得极大值1

（2）解：mf（x）≥ mlnx﹣ ≥0，

令h（x）=mlnx﹣ ，则h′（x）= ，

∵h（1）=0，故当m（x+1）2﹣2x≥0[1，+∞）在上恒成立时，

使得函数h（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴m≥ = 在[1，+∞）上恒成立，故m≥ ；

经验证，当m≥ 时，函数h′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；

当m＜ 时，不满足题意．

∴m≥

（3）解：令F（α）=ln（tanα）+cos2α，则F′（α）= ，

∵α∈（0， ），∴sin2α＞0，∴F′（α）＞0，

故F（α）单调递增，又F（ ）=0，

∴当0＜α＜ 时，f（tanα）＜﹣cos2α；

当α= 时，f（tanα）=﹣cos2α；

当 ＜α＜ ，f（tanα）＞﹣cos2α

【解析】（1）求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x）的极大值即可；（2）问题转化为mlnx﹣ ≥0，令h（x）=mlnx﹣ ，求出函数h（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）令F（a）=ln（tana）+cos2a，求出函数F（a）的导数，根据a的范围，求出函数的单调性，从而比较f（tana）和﹣cos2a的大小即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．