Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x-a），即2x-y-2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为

|2c-2a|

5

=

2 5

5

，化为a-c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即

a2

c

=4，及其a²=c²+b²，解出即可．
（2）方法一：由（1）知B(0，

3

)，F（1，0），直线BF的方程为y=-

3

(x-1)，与椭圆方程联立可得P，即可得出k_PA；
方法二：由（1）知B(0，

3

)，F（1，0），直线BF的方程为y=-

3

(x-1)，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线k_BP=k_BF，解出即可．

解答： 解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x-a），即2x-y-2a=0，
∴右焦点F到直线l的距离为

|2c-2a|

5

=

2 5

5

，
∴a-c=1，
又椭圆C的右准线为x=4，即

a2

c

=4，
∴c=

a2

4

，将此代入上式解得a=2，c=1，
∴b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）方法一：由（1）知B(0，

3

)，F（1，0），
∴直线BF的方程为y=-

3

(x-1)，
联立方程组

y=- 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，解得

x= 8 5 y=- 3 3 5

或

x=0 y= 3

（舍），即P(

8

5

，-

3 3

5

)，
∴直线l的斜率k=

0-(- 3 3 5 )

2- 8 5

=

3 3

2

．
方法二：由（1）知B(0，

3

)，F（1，0），
∴直线BF的方程为y=-

3

(x-1)，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-2），联立方程组

y=- 3 (x-1) y=k(x-2)

，
解得

x= 2k+ 3 k+ 3 y= - 3 k k+ 3

，
代入椭圆解得：k=

3 3

2

或k=-

3

2

，
又由题意知，y=

- 3 k

k+ 3

＜0得k＞0或k＜-

3

，
∴k=

3 3

2

．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），
联立方程组

y=k(x-2) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，xA+xP=

16k2

4k2+3

，
∴xP=

16k2

4k2+3

-2=

8k2-6

4k2+3

，yP=

-12k

4k2+3

，
当B，F，P三点共线时有，k_BP=k_BF，
即

-12k 4k2+3 - 3

8k2-6 4k2+3

=

- 3

1

，解得k=

3 3

2

或k=-

3

2

，
又由题意知，y=

- 3 k

k+ 3

＜0得k＞0或k＜-

3

，
∴k=

3 3

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．