Question

奇函数y=f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x），x∈R的解析式；
（2）设函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为，（a≠b）求a，b的值．

Answer 1

解：（1）设x＜0，则-x＞0，故f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²，
由于函数为奇函数，故可得-f（x）=f（-x）=-2x-x²，
所以f（x）=2x+x²，故函数y=f（x），x∈R的解析式为：
f（x）=；
（2）由x∈[a，b]的值域为，可知a＜b，且，
故可得=＜0，所以ab＞0，即ab同号，
当a＜b＜0时，由函数的最小值为f（-1）=-1可知≥-1，解得b≤-1，
故a，b落在函数的单调递减区间，故有f（a）=，f（b）=，
当0＜a＜b时，由函数的最大值为f（1）=1可知≤1，解得a≥1，
故a，b落在函数的单调递减区间，故也有f（a）=，f（b）=，
整理可得ab为方程x³-2x²+1=0，即（x-1）（x²-x-1）=0的根，
解之可得a=1，b=．
分析：（1）设x＜0，则-x＞0，代入已知解析式结合函数的奇偶性可得；
（2）可得ab同号，分a＜b＜0，和0＜a＜b两类，解方程可得结果，注意不同段的解析式即可．
点评：本题考查函数解析式的求解，以及函数的值域，分类讨论是解决问题的关键，属基础题．