Question

在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0
（1）求角B；
（2）若b=7，a+c=13求此三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b，a+c，cosB的值代入求出ac的值，再由ac及sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答：解：（1）已知等式（2c-a）cosB-bcosA=0利用正弦定理化简得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
整理得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B为三角形内角，
∴B=

π

3

；
（2）∵sinB=

3

2

，cosB=

1

2

，b=7，a+c=13，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=169-3ac=49，即ac=40，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=10

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．