Question

已知m＞1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把F₂代入直线方程求得m，则直线的方程可得．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|²，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）解：因为直线l：x-my-=0，经过F₂（，0），
所以=，得m²=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x-y-1=0．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，消去x得
2y²+my+-1=0
则由△=m²-8（-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，
且有y₁+y₂=-，y₁y₂=-．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，
由，=2，可知G（，），H（，）
|GH|²=+
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（）²+（）²]＜+即x₁x₂+y₁y₂＜0
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（）
所以（）＜0，即m²＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．
点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．