Question

设A，B，C是y=x²上的三点，其中B（1，1），且∠ABC=90°，过A，C分别作y=x²的切线，设两切线交于点M．
（1）求M点的轨迹方程；
（2）求证：直线AM、AC、CM的斜率k_AM，k_AC，k_CM成等差数列．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²）
由AB⊥BC得K_AB•K_BC=-1
即=-1
整理得：（x₁+1）（x₂+1）=-1，
x₁x₂+（x₁+x₂）+2=0（1）
又∵K_AM=2x₁，K_CM=2x₂
∴直线AM的方程为：y-x₁²=2x₁（x-x₁）（2）
直线CM的方程为：y-x₂²=2x₂（x-x₂）（3）
联立（2），（3）解得M
设M（x，y），则即代入（1）得
点M的轨迹方程为：2x+y+2=0（7分）
（2）∵K_AM=2x₁，K_CM=2x₂
∴K_AM+K_CM=2（x₁+x₂）
又∵K_AC=
∴K_AM+K_CM=2K_AC
即K_AM，K_AC，K_CM成等差数列．（15分）
分析：（1）先设A（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），由AB⊥BC得K_AB•K_BC=-1，再利用坐标表示它，整理得x₁与x₂的关系，再联立直线AM的方程和直线CM的方程，即得点M的轨迹方程；
（2）欲证明K_AM，K_AC，K_CM成等差数列，即证明K_AM，K_AC，K_CM成等差数列，利用K_AM=2x₁，K_CM=2x₂及K_AM+K_CM=2（x₁+x₂）即可证明得．
点评：本小题主要考查轨迹方程、等差数列、分析法和综合法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．